양자 동역학 학습을 위한 스펙트럼 필터링

Spectral Filtering for Learning Quantum Dynamics

고차원 양자 시스템 학습은 근본적인 과제이며, 특히 차원의 저주로 인해 어려움을 겪습니다. 본 연구에서는 선형 응답 영역에서의 양자 진화 예측 문제를, 복소수 선형 동적 시스템(CLDS) 학습의 특정 사례로 정의합니다. 여기서 시스템 고유값은 특정 범위 내에 제한되며, 이는 현대의 구조화된 상태 공간 모델(SSM)을 포함하는 설정입니다. 기존의 시스템 식별 방법은 전체 시스템 행렬을 복원하려고 시도하며(이는 힐베르트 차원에 따라 지수적으로 증가하는 비용을 발생시킴), 우리는 '양자 스펙트럼 필터링'이라는 방법을 제안합니다. 이 방법은 목표를 전체 시스템 행렬 복원이 아닌, 부분적인 동적 학습으로 전환합니다. Slepian 기저의 최적 집중 특성을 활용하여, 이러한 시스템의 학습 가능성은 스펙트럼 대역폭과 메모리 지연에 의해 결정되는 '유효 양자 차원' $k^*$에 의해 엄격하게 제한된다는 것을 증명합니다. 이 결과는 복소수 LDS가, 고유값 범위가 제한된다면, 주변 상태 차원에 독립적인 샘플 및 계산 복잡도로 학습될 수 있음을 보여줍니다.

Learning high-dimensional quantum systems is a fundamental challenge that notoriously suffers from the curse of dimensionality. We formulate the task of predicting quantum evolution in the linear response regime as a specific instance of learning a Complex-Valued Linear Dynamical System (CLDS) with sector-bounded eigenvalues -- a setting that also encompasses modern Structured State Space Models (SSMs). While traditional system identification attempts to reconstruct full system matrices (incurring exponential cost in the Hilbert dimension), we propose Quantum Spectral Filtering, a method that shifts the goal to improper dynamic learning. Leveraging the optimal concentration properties of the Slepian basis, we prove that the learnability of such systems is governed strictly by an effective quantum dimension $k^*$, determined by the spectral bandwidth and memory horizon. This result establishes that complex-valued LDSs can be learned with sample and computational complexity independent of the ambient state dimension, provided their spectrum is bounded.