SFO: 스펙트럴 필터링을 통한 편미분 방정식 연산자 학습

SFO: Learning PDE Operators via Spectral Filtering

편미분 방정식(PDE)은 복잡한 시스템을 지배하지만, 신경 연산자는 종종 해의 지도를 효율적으로 표현하는 데 어려움을 겪습니다. 본 연구에서는 스펙트럴 필터링 이론의 힐베르트 행렬 고유 모드로부터 파생된 고정된 전역 직교 기저인 유니버설 스펙트럴 베이스(USB)를 사용하여 적분 커널을 매개변수화하는 신경 연산자인 스펙트럴 필터링 연산자(SFO)를 제안합니다. 시프트 불변 PDE 이산화의 이산 그린 함수가 공간 선형 동적 시스템(LDS) 구조를 나타낸다는 이론적 결과를 바탕으로, 본 연구는 이러한 커널이 USB에서 컴팩트한 근사값을 갖는다는 것을 증명합니다. SFO는 급격하게 감소하는 고유값의 스펙트럴 계수를 학습함으로써 매우 효율적인 표현을 달성합니다. 반응-확산, 유체 역학, 3차원 전자기학을 포함한 6개의 벤치마크에서 SFO는 최첨단 정확도를 달성하며, 강력한 기준 모델과 비교하여 최대 40%의 오차를 줄이는 동시에 훨씬 적은 매개변수를 사용합니다.

Partial differential equations (PDEs) govern complex systems, yet neural operators often struggle to efficiently capture the long-range, nonlocal interactions inherent in their solution maps. We introduce Spectral Filtering Operator (SFO), a neural operator that parameterizes integral kernels using the Universal Spectral Basis (USB), a fixed, global orthonormal basis derived from the eigenmodes of the Hilbert matrix in spectral filtering theory. Motivated by our theoretical finding that the discrete Green's functions of shift-invariant PDE discretizations exhibit spatial Linear Dynamical System (LDS) structure, we prove that these kernels admit compact approximations in the USB. By learning only the spectral coefficients of rapidly decaying eigenvalues, SFO achieves a highly efficient representation. Across six benchmarks, including reaction-diffusion, fluid dynamics, and 3D electromagnetics, SFO achieves state-of-the-art accuracy, reducing error by up to 40% relative to strong baselines while using substantially fewer parameters.