제한된 계산 환경에서의 1차 기하학, 스펙트럼 압축 및 구조적 일관성

First-Order Geometry, Spectral Compression, and Structural Compatibility under Bounded Computation

구조적 제약 하에서의 최적화는 일반적으로 투영 또는 페널티 방법을 통해 분석되지만, 이러한 방법은 제약 조건이 허용 가능한 동역학에 미치는 기하학적 메커니즘을 가립니다. 본 논문에서는 계산 또는 타당성 제한을 자체 수반 연산자를 통해 지역적으로 접근 가능한 부분 공간으로 인코딩하는 연산자 이론적 형식을 제안합니다. 이러한 설정에서 최적의 1차 개선 방향은 가짜 역행렬 가중치 기울기로 나타나며, 이는 제약 조건이 어떻게 상승 기하학을 왜곡하는지 보여줍니다. 또한, 효과적인 동역학은 주요 스펙트럴 모드에 집중되며, 이는 체계적인 스펙트럼 압축 개념을 제공하고, 여러 목적 함수에 걸쳐 공통적으로 허용 가능한 방향의 존재를 특징짓는 일관성 원리를 확립합니다. 결과적으로 도출된 프레임워크는 기울기 투영, 스펙트럴 절단 및 다중 목적 타당성을 단일 기하학적 구조 내에서 통합합니다.

Optimization under structural constraints is typically analyzed through projection or penalty methods, obscuring the geometric mechanism by which constraints shape admissible dynamics. We propose an operator-theoretic formulation in which computational or feasibility limitations are encoded by self-adjoint operators defining locally reachable subspaces. In this setting, the optimal first-order improvement direction emerges as a pseudoinverse-weighted gradient, revealing how constraints induce a distorted ascent geometry. We further demonstrate that effective dynamics concentrate along dominant spectral modes, yielding a principled notion of spectral compression, and establish a compatibility principle that characterizes the existence of common admissible directions across multiple objectives. The resulting framework unifies gradient projection, spectral truncation, and multi-objective feasibility within a single geometric structure.