일반화된 푸리에 변환을 통한 연속 대칭의 스펙트럼 기반 발견

Spectral Discovery of Continuous Symmetries via Generalized Fourier Transforms

연속 대칭은 많은 과학 및 학습 문제에서 중요한 역할을 하지만, 종종 사전에 알려져 있지 않습니다. 기존의 대칭 발견 방법은 일반적으로 변환 생성자의 공간에서 직접 탐색하거나, 학습 기반 데이터 증강 기법에 의존합니다. 본 연구에서는 스펙트럼 구조를 기반으로 하는 근본적으로 다른 관점을 제시합니다. 본 연구는 일반화된 푸리에 변환(GFT)을 사용하여 연속적인 1-매개변수 부분군을 발견하기 위한 프레임워크를 소개합니다. 핵심적인 관찰은 부분군에 대한 불변성이 함수를 불변 표현으로 분해했을 때 스펙트럼 분해에서 구조화된 희소성을 유도한다는 것입니다. 생성자를 최적화하는 대신, 우리는 스펙트럼 영역에서 이러한 유도된 희소성 패턴을 식별함으로써 대칭을 감지합니다. 본 연구는 최대 토러스에서 대칭 감지 절차를 개발하며, 여기서 GFT는 불변 표현을 통한 다차원 푸리에 분석으로 줄어듭니다. 이중 진자 및 톱 쿼크 태깅을 포함한 다양한 문제에서, 스펙트럼 희소성이 1-매개변수 대칭을 신뢰성 있게 드러낸다는 것을 보여줍니다. 이러한 결과는 스펙트럼 분석을 생성자 기반 대칭 발견의 원칙적이고 해석 가능한 대안으로 자리매김합니다.

Continuous symmetries are fundamental to many scientific and learning problems, yet they are often unknown a priori. Existing symmetry discovery approaches typically search directly in the space of transformation generators or rely on learned augmentation schemes. We propose a fundamentally different perspective based on spectral structure. We introduce a framework for discovering continuous one-parameter subgroups using the Generalized Fourier Transform (GFT). Our central observation is that invariance to a subgroup induces structured sparsity in the spectral decomposition of a function across irreducible representations. Instead of optimizing over generators, we detect symmetries by identifying this induced sparsity pattern in the spectral domain. We develop symmetry detection procedures on maximal tori, where the GFT reduces to multi-dimensional Fourier analysis through their irreducible representations. Across structured tasks, including the double pendulum and top quark tagging, we demonstrate that spectral sparsity reliably reveals one-parameter symmetries. These results position spectral analysis as a principled and interpretable alternative to generator-based symmetry discovery.