기하학적 압축 매핑을 통한 물리 기반 신경망의 입력 영역 재고찰

Rethinking Input Domains in Physics-Informed Neural Networks via Geometric Compactification Mappings

여러 복잡한 물리 시스템은 부드러운 저주파 성분과 국소적인 고주파 구조를 모두 나타내는 다중 스케일 편미분 방정식(PDE)에 의해 지배됩니다. 기존의 물리 기반 신경망(PINN) 방법은 일반적으로 고정된 좌표 시스템 입력을 사용하여 학습하는데, 이로 인해 기하학적 불일치가 발생하여 기울기 강성 및 불안정성을 유발하고 수렴을 방해합니다. 이러한 문제를 해결하기 위해, 우리는 미분 가능한 기하학적 압축 매핑을 통해 입력 좌표를 재구성하고, PDE의 기하학적 구조와 잔차 연산자의 스펙트럼 특성을 결합하는 매핑 패러다임을 제안합니다. 이 패러다임을 기반으로, 우리는 주기적 경계, 원거리 스케일 확장 및 국소적인 특이 구조에 대한 세 가지 매핑 전략을 입력 영역에 도입하는 프레임워크인 Geometric Compactification (GC)-PINN을 제안합니다. 광범위한 실험적 평가는 이 접근 방식이 대표적인 1차원 및 2차원 PDE에서 더 균일한 잔차 분포와 더 높은 해 정확도를 제공하며, 동시에 학습 안정성과 수렴 속도를 향상시킨다는 것을 보여줍니다.

Several complex physical systems are governed by multi-scale partial differential equations (PDEs) that exhibit both smooth low-frequency components and localized high-frequency structures. Existing physics-informed neural network (PINN) methods typically train with fixed coordinate system inputs, where geometric misalignment with these structures induces gradient stiffness and ill-conditioning that hinder convergence. To address this issue, we introduce a mapping paradigm that reshapes the input coordinates through differentiable geometric compactification mappings and couples the geometric structure of PDEs with the spectral properties of residual operators. Based on this paradigm, we propose Geometric Compactification (GC)-PINN, a framework that introduces three mapping strategies for periodic boundaries, far-field scale expansion, and localized singular structures in the input domain without modifying the underlying PINN architecture. Extensive empirical evaluation demonstrates that this approach yields more uniform residual distributions and higher solution accuracy on representative 1D and 2D PDEs, while improving training stability and convergence speed.