LieStoNet: 시공간 데이터로부터 학습하는 리 대칭 – 확률적 동역학 시스템을 위한 방법

LieStoNet: Learning Lie Symmetries from Spatiotemporal Data for Stochastic Dynamical Systems

대칭성은 현대 머신러닝과 물리학의 핵심 개념이며, 불변성과 등변성은 샘플 효율성, 강건성 및 일반화 성능 향상에 기여합니다. 또한, 대칭 원리는 과학적 모델링을 안내하는 역할을 합니다. 그러나 확률적 동역학 시스템에서 관련 있는 연속적인 대칭은 종종 알려져 있지 않으며, SDE(확률 미분 방정식)의 대칭 발견은 거의 연구되지 않았습니다. 본 논문에서는 시공간 궤적으로부터 직접 리-점 대칭을 발견하는 엔드-투-엔드, *템플릿 없는* 프레임워크인 extit{LieStoNet}을 소개합니다. LieStoNet은 미리 정의된 대칭 그룹, 템플릿 또는 표준 좌표를 사용하지 않습니다. Gaeta와 Quintero (1999)의 SDE 리-대칭 이론에 기반하여, 이 이론은 리-점 SDE 대칭과 포커-플랑크 대칭 간의 관계를 형식화합니다. LieStoNet은 증분 데이터를 기반으로 드리프트 및 확산 함수에 대한 신경망 근사치를 학습한 다음, SDE 결정 방정식을 강제하고, 리 브라켓 하에서의 닫힘, 리 대수 공리(선형성, 반대칭성, 야코비 항등식) 준수, 그리고 중복되지 않는 독립적인 기저를 별도로 정규화하여 투영 가능한 생성기를 학습합니다. 또한, 근사 함수는 관련 포커-플랑크 방정식을 정의하며, 이를 통해 리-점 대칭을 병렬로 발견할 수 있습니다. 여러 개의 알려진 해석적 대칭을 가진 표준 SDE에 대해 LieStoNet은 실제 대칭 대수와 일관된 생성기를 복구하여, 노이즈가 많은 동역 시스템에 대한 해석 가능한 대칭 발견을 제공합니다. 코드 및 관련 정보는 [https://github.com/sumit-sinha-seas/LieStoNet_Final.git](https://github.com/sumit-sinha-seas/LieStoNet_Final.git) 에서 확인할 수 있습니다.

Symmetry is central to modern machine learning and physics: invariances and equivariances improve sample efficiency, robustness, and out-of-distribution generalization, while symmetry principles guide scientific modeling. Yet for stochastic dynamical systems the relevant continuous symmetries are rarely known, and symmetry discovery for SDEs has remained essentially unexplored. We introduce \textit{LieStoNet}, an end-to-end, \emph{template-free} framework for discovering Lie-point symmetries of SDEs directly from spatiotemporal trajectories, without prespecifying symmetry groups, templates, or canonical coordinates. Building on the seminal SDE Lie-symmetry theory of Gaeta and Quintero (1999), which formalizes Lie-point SDE symmetries and their relation to Fokker-Planck symmetries, LieStoNet learns neural surrogates for drift and diffusion from increments, then learns projectable generators by enforcing the SDE determining equations, separately regularizing for closure under Lie brackets, adherence to the Lie algebra axioms (bilinearity, antisymmetry, Jacobi), and a non-redundant independent basis. The surrogate also defines an associated Fokker-Planck equation, enabling optional discovery of its Lie-point symmetries in parallel. Across multiple canonical SDEs with known analytic symmetries, LieStoNet recovers generators consistent with the ground-truth symmetry algebra, providing interpretable symmetry discovery for noisy dynamics. Code is available at \href{https://github.com/sumit-sinha-seas/LieStoNet_Final.git}{this link}.