결정 트리, 프로베니우스 추적, 그리고 타원 곡선의 베이어슈트라스 계수

Decision trees, Frobenius traces, and Weierstrass coefficients of elliptic curves

본 논문에서는 $\mathbb{Q}$ 위에서 정의된 타원 곡선의 축소 최소 베이어슈트라스 계수를 프로베니우스 추적으로부터 얼마나 정확하게 계산할 수 있는지 연구합니다. 결정 트리 모델을 통해, 첫 번째와 두 번째 축소 최소 베이어슈트라스 계수는 소수 $2$와 $3$에서의 프로베니우스 추적만을 사용하여 완벽한 정확도로 복구될 수 있으며, 세 번째 계수는 이 두 가지 추적에 더하여 커넥터의 패리티를 추가함으로써 얻을 수 있음을 밝힙니다. 우리는 이러한 계수에 대한 명시적인 공식을 유도하며, 이 공식들은 새로운 것으로 보입니다. 특히, 타원 곡선의 처음 세 개의 축소 최소 베이어슈트라스 계수는 해당 타원 곡선의 아이소제니 클래스에 의해 결정된다는 것을 증명합니다.

We investigate the extent to which the reduced minimal Weierstrass coefficients of an elliptic curve over $\mathbb{Q}$ may be computed from it's Frobenius traces. Decision tree models reveal that the first two reduced minimal Weierstrass coefficients can be recovered with perfect accuracy from the Frobenius traces at the primes $2$ and $3$, and the third by supplementing these two traces with the conductor parity. We subsequently prove explicit formulae for these coefficients using the Frobenius traces and conductor parity. These formulae appear to be new. In particular, we deduce that the first three reduced minimal Weierstrass coefficients of an elliptic curve are determined by its isogeny class.