DFSC: 오차 제어 기반 미타그-레플러 전파를 활용한 분수 차원 과학 머신 러닝

DFSC: Error-Controlled Differentiable Mittag-Leffler Propagation for Fractional Scientific Machine Learning

분수 차원 과학 머신 러닝은 미분 가능하고, 배치 처리 가능하며, 가속화 및 신경망과의 결합이 가능한 수치 연산자를 필요로 합니다. 지배적인 선형 분수 차원 진화가 미타그-레플러 전파를 통해 알려진 경우, 과거 해법을 반복적으로 재구성하거나 데이터를 통해 다시 학습하는 것은 불필요합니다. 본 논문에서는 미타그-레플러 스펙트럴 레이어(MLSL)를 중심으로 구성된 PyTorch 환경인 DFSC를 소개합니다. 이 레이어는 알려진 분수 차원 전파와 데이터 기반 수정 사항을 분리하여, 신경망 모듈은 해결되지 않은 동역학만 학습하도록 하고, 분수 차원 값과 잔차 네트워크 파라미터가 공동으로 최적화되도록 합니다. DFSC의 적응형 알고리즘은 특수 함수 절단 깊이 또는 랑초스 차원을 요청된 허용 오차를 만족할 때까지 증가시킵니다. 음의 실수 교번 급수 영역에서 DFSC는 검증된 첫 번째 누락 항 경계를 추가적으로 제공하며, 해당 영역 외부에서는 추정치를 명시적으로 경험적 값으로 표시합니다. DFSC는 밀집형, 희소형, 행렬 없는 방식, 자기 수반형, 일반화된 형태 및 제어 가능한 복소 연산자 경로를 지원하며, 학습 가능한 분수 차원 값, 직접적인 역문제 해결, 잔차 신경망 결합 및 CPU/GPU 실행을 제공합니다. 검증된 급수 경계는 59개의 적격 참조 사례에 대해 적용 가능하며, 해결된 오차의 경우 중간 수준의 경계/오차 효율성은 1.246입니다. 준비된 배치 랑초스 기저를 재사용하면 동일한 고정 경로 값을 얻을 수 있으며, CPU에서는 반복적인 쿼리 시간을 4.61~7.11배 줄이고, RTX 5070에서는 13.07~16.22배 줄일 수 있습니다 (단, 초기 준비 시간 제외). 27개의 역행렬 계산에서 전반적으로 완전한 로컬 곡률이 존재하며, 동시에 모델에 대한 조건성을 명시적으로 유지합니다. 외부 솔버 및 혼합 실제 데이터 결과는 DFSC가 분수 차원 구조를 가진 시스템에 대해 오류 인지적인 선택적 기본 구성 요소로 사용될 수 있음을 뒷받침하며, 이는 모든 분수 차원 솔버 또는 신경망 모델을 대체하는 일반적인 방법은 아닙니다.

Fractional scientific machine learning requires numerical operators that can be differentiated, batched, accelerated, and composed with neural networks. When the dominant linear fractional evolution is known through a Mittag-Leffler propagator, repeatedly reconstructing that response with a history solver or relearning it from data is unnecessary. We present DFSC, a PyTorch environment organized around the Mittag-Leffler Spectral Layer (MLSL). The layer separates known fractional propagation from data-driven corrections, so neural modules learn only unresolved dynamics while fractional orders and residual-network parameters are optimized jointly. Its adaptive algorithm increases special-function truncation depth or Lanczos dimension until successive differentiable evaluations satisfy a requested tolerance. In the negative-real alternating-series regime, DFSC additionally returns a certified first-omitted-term bound; outside that regime it explicitly labels estimates as empirical. DFSC supports dense, sparse, matrix-free, self-adjoint, generalized, and controlled complex operator paths; trainable fractional orders; direct inverse problems; residual neural composition; and CPU/GPU execution. The certified series bound covers all 59 eligible reference cases, with median bound/error effectivity 1.246 for resolved errors. Reusing a prepared batched Lanczos basis gives identical fixed-path values and reduces repeated-query time by 4.61--7.11 times on CPU and 13.07--16.22 times on an RTX 5070, excluding one-time preparation. A 27-case inverse matrix finds full-rank local curvature throughout, while remaining explicitly model-conditional. External solver and mixed real-data results support DFSC as an error-aware optional primitive for matched fractional structure, rather than a general replacement for fractional solvers or neural models.