동결 후 선택: 구조화된 필드 어댑터 및 안정성 검증 기반 약한 선택을 통한 희소 관측 데이터로부터의 편미분 방정식 발견

Freeze, Then Select: Structured Field Adapters and Stability-Validated Weak Selection for PDE Discovery from Sparse Observations

희소 관측 데이터로부터 편미분 방정식을 찾는 과정은 연속적인 필드를 재구성하고 올바른 미분 항을 선택하는 것을 요구합니다. 결합된 신경망 기반 편미분 방정식 발견 모델의 최적화 경로 분석 결과, 정확한 지지 집합(support)이 훈련 과정의 끝까지 유지되거나, 일시적으로만 나타나거나, 전혀 등장하지 않는 세 가지 유형의 현상이 관찰되었습니다. 본 연구에서는 신경망 최적화와 방정식 선택을 분리하기 위해, 구조화된 필드 어댑터와 안정성 검증 기반 약한 선택(Stability-Validated Weak Selection, SVWS) 방법을 결합한 '동결 후 선택' 기법을 개발했습니다. 이 방법은 편미분 방정식 잔차 없이 관측 데이터로부터 훈련되며, 어댑터는 필드를 학습된 공간 특징과 세제곱 스플라인으로 표현되는 시간 계수로 분해합니다. 필드 모델이 동결되면, SVWS는 독립적인 약한 형식 시스템 간에 반복되는 항을 식별하고, 후보 지지 집합을 재조정하여, 검증 데이터로 사용된 약한 형식 시스템을 기반으로 최종 방정식을 선택합니다. 기존의 고정된 라이브러리에 더해, 본 연구에서는 동일한 원리를 유전 프로그래밍으로 생성된 표현식에 적용하여, 희소하고 노이즈가 많은 관측 데이터로부터 알려지지 않은 비선형 확산 함수의 거듭제곱 법칙 형태를 복원했습니다. 여섯 가지의 희소 MDBench 환경에서, 제안하는 방법은 가장 높은 정확한 지지 집합 복구율을 달성했으며, 특히 어려운 쿠라모토-시바신스키 동역 시스템에서 기존의 고전적 및 신경망 기반 모델보다 뚜렷한 성능 향상을 보였습니다.

PDE discovery from sparse observations requires reconstructing a continuous field and selecting the correct differential terms. Our analysis of optimization paths in coupled neural PDE discovery reveals three behaviors: the exact support can persist to the end of training, appear only transiently, or fail to emerge. To decouple equation selection from neural optimization, we develop a freeze-then-select method combining a structured field adapter with Stability-Validated Weak Selection (SVWS). Trained from observations without a PDE residual, the adapter factorizes the field into learned spatial features and temporal coefficients represented by cubic splines. After freezing the field, SVWS identifies recurrent terms across independent weak-form systems, refits candidate supports, and selects the final equation on held-out weak-form systems. Beyond fixed libraries, we apply the same principle to expressions generated by genetic programming and recover the power-law form of an unknown nonlinear diffusion function from sparse, noisy observations. Across all six sparse MDBench regimes, our method attains the highest exact support recovery rate, with its clearest gains over classical and neural baselines on challenging Kuramoto-Sivashinsky dynamics.