기대 지속성 다이어그램의 적응적 벡터화를 위한 보로노이 히스토그램

Voronoi Histograms for Adaptive Vectorization of Expected Persistence Diagrams

지속성 다이어그램(PD)은 점군 데이터의 위상 구조를 효과적으로 나타내지만, 계산 복잡도가 높다는 단점이 있습니다. 기대 지속성 다이어그램(EPD)은 점군의 여러 부분집합에 대한 위상 구조를 연구하여 계산 시간을 줄이고, 이는 위상적 특징의 분포로 사용됩니다. 기존 EPD 벡터화 방법은 주로 가우시안 함수나 랜드스케이프 함수와 같은 미리 정의된 점 변환에 의존합니다. 본 연구에서는 부드러운 함수 근사 대신 적응적인 분할 기반 계수를 사용하는 보로노이 히스토그램을 기반으로 하는 대체 이산화 방법을 제시합니다. 명시적인 부드러운 점 변환 모델을 사용하지 않고, 보로노이 다이어그램 기반 히스토그램을 EPD의 벡터화 방법으로 활용하는 것을 제안합니다. 특정 분리 및 정규화 조건 하에서, 우리는 안정성 경계를 설정하고, 히스토그램 표현이 Wasserstein 거리에 따른 변동성을 유지하는 조건을 분석했습니다. 제안된 표현 방식은 분류 및 차원 축소 작업에 중요한 위상적 특징을 가진 실제 데이터 세트에 대한 실험에서 효과적인 성능을 보여주었습니다.

Persistence Diagram (PD) is known to capture point cloud topology effectively, but its computation has high time complexity. Expected Persistence Diagram (EPD) has been developed to reduce the time cost by studying the topology of multiple subsets of a point cloud and it serves as a distribution of topological features. Existing EPD vectorizations often rely on predefined point transformations, such as Gaussian or landscape functions. We study an alternative discretization based on Voronoi histograms, which trades smooth functional approximation for adaptive partition-based counting. We propose to use Voronoi Diagram-based histogram as the vectorization of EPD, without imposing an explicit smooth point transformation model. Under stated separation and normalization conditions, we establish stability bounds and characterize when the histogram representation preserves Wasserstein-scale variation. We demonstrate the effectiveness of our proposed representation on real-world datasets which have significant topological features for classification and dimensionality reduction tasks.